حل تمرين الميكانيك: القمر الجيوثابت خطوة بخطوة
الحل الكامل بأسلوب التصحيح الوزاري: قانون نيوتن، إثبات انتظام الحركة، حساب الارتفاع والسرعة والدور — نحو 6 نقاط لمن يتقن هذه السلسلة.
نص التمرين (نموذج بأسلوب مواضيع البكالوريا)
قمر صناعي كتلته m يدور حول الأرض (كتلتها M = 6×1024 kg ونصف قطرها R = 6400 km) على مدار دائري نصف قطره r بسرعة ثابتة القيمة v. نهمل كل القوى ما عدا قوة جذب الأرض، ونأخذ ثابت الجذب العام G = 6.67×10−11 (SI). ندرس الحركة في مرجع جيومركزي نعتبره غاليليًا.
1) 1.5 نقطة
بتطبيق القانون الثاني لنيوتن، بيّن أن حركة القمر دائرية منتظمة، ثم بيّن أن: v² = GM/r.
2) 2 نقاط
استنتج عبارة الدور T بدلالة r، ثم احسب الارتفاع h عن سطح الأرض لقمر جيوثابت دوره مساوٍ لدور دوران الأرض حول نفسها (T0 = 86400 s).
3) 1 نقطة
احسب السرعة v0 للقمر الجيوثابت.
4) 1.5 نقطة
قمر ثانٍ يدور على ارتفاع منخفض h2 = 800 km: احسب دوره T2 بالدقائق.
الحل خطوة بخطوة مع سلم التنقيط
ابدأ دائمًا بتحديد الجملة والمرجع والقوى — هذه الأسطر الثلاثة عليها نقاط.
1) إثبات انتظام الحركة 1.5
الجملة: القمر • المرجع: جيومركزي غاليلي • القوى: قوة جذب الأرض فقط F = GMm/r² موجهة نحو مركز الأرض.
بتطبيق القانون الثاني لنيوتن: التسارع a = F/m = GM/r² مركزي أي عمودي على السرعة في كل لحظة، فمركّبته المماسية معدومة ومنه dv/dt = 0: قيمة السرعة ثابتة والحركة دائرية منتظمة.
وبإسقاط العلاقة على المحور الناظمي (أساس فرينيه): v²/r = GM/r²، ومنه:
2) الدور وارتفاع الجيوثابت 2
يدور القمر بزاوية 2π خلال الدور T بسرعة ثابتة، إذن v = 2πr/T. بالتعويض في نتيجة السؤال الأول:
القمر الجيوثابت يدور في مستوى خط الاستواء بنفس جهة ودور الأرض (T0 = 86400 s)، إذن:
ومنه الارتفاع عن سطح الأرض:
3) سرعة الجيوثابت 1
4) دور القمر المنخفض 1.5
نصف قطر المدار: r2 = R + h2 = 7200 km = 7.2×106 m. بتطبيق عبارة الدور:
نتيجة منطقية: المدار المنخفض أسرع (دورة كل ساعة و41 دقيقة تقريبًا).
1. نسيان تحديد الجملة والمرجع والقوى في البداية — أسطر عليها نقاط مضمونة.
2. الخلط بين نصف قطر المدار r والارتفاع h: الارتفاع = r − R، ونسيان طرح R خطأ كلاسيكي (−1).
3. إهمال الوحدات والتحويلات (km ← m): كل الأطوال بالمتر قبل التعويض في G (SI).
أسئلة التلاميذ حول ميكانيك البكالوريا
كيف أثبت أن حركة القمر منتظمة؟
القوة الوحيدة (جذب الأرض) مركزية أي عمودية على السرعة، فالتسارع المماسي معدوم ومنه قيمة السرعة ثابتة: الحركة دائرية منتظمة.
ما هو القمر الجيوثابت؟
قمر يدور في مستوى خط الاستواء بنفس جهة ودور دوران الأرض (24 ساعة) فيبدو ثابتًا فوق نقطة واحدة — ارتفاعه نحو 36000 كم.
كم مدة امتحان الفيزياء في البكالوريا؟
المدة الرسمية 3 ساعات لشعبة علوم تجريبية (معامل 5) — تمرين الميكانيك وحده يمنح نحو 6 نقاط بالمنهجية الصحيحة.
قانون واحد… وكل تمارين الأقمار تُحل بنفسه
نيوتن + فرينيه + الدور: نفس السلسلة تتكرر كل سنة بتطبيقات مختلفة — درّب نفسك عليها في التطبيق.