حل تمرين المتتاليات بكالوريا علوم تجريبية مع سلم التنقيط
بكالوريا • علوم تجريبية • حل مفصّل + سلم التنقيط

حل تمرين المتتاليات في البكالوريا: التراجع والمتتالية المساعدة

الحل الكامل بأسلوب التصحيح الوزاري: البرهان بالتراجع، المتتالية الهندسية المساعدة، وحساب المجموع — نحو 4 نقاط كاملة لمن يتقن هذه المنهجية الثلاثية.

⏱️ المدة الرسمية: 3 ساعات ⚖️ المعامل: 5 📝 التمرين: 4 نقاط
🎯 تدرّب على متتاليات مشابهة بالتصحيح الفوري ← 🧮 احسب معدلك لو أخذت هذه العلامة
📌 فروض ومواضيع محلولة:
بوابة الفروض مواضيع البكالوريا متتاليات: التراجع والمساعدة رياضيات: الدوال الأسية شعبة علوم تجريبية
نص التمرين

نص التمرين (نموذج بأسلوب مواضيع البكالوريا)

نعتبر المتتالية العددية ‎(un)‎ المعرّفة بحدّها الأول ‎u0 = 1‎ والعلاقة التراجعية:

un+1 = (un + 8) / 3  لكل n من ℕ

1) 1.25 نقطة

برهن بالتراجع أن ‎un ≤ 4‎ لكل n من ℕ، ثم بيّن أن المتتالية ‎(un)‎ متزايدة، واستنتج أنها متقاربة.

2) 1.75 نقطة

نضع ‎vn = un − 4‎. بيّن أن ‎(vn)‎ متتالية هندسية يطلب تعيين أساسها وحدّها الأول، ثم اكتب عبارة ‎vn‎ بدلالة n واستنتج عبارة ‎un‎ ونهايتها.

3) 1 نقطة

احسب بدلالة n المجموع ‎Sn = v0 + v1 + … + vn‎ ثم احسب نهايته.

التصحيح النموذجي المفصّل

الحل خطوة بخطوة مع سلم التنقيط

اكتب مراحل التراجع كاملة: التهيئة والوراثة والاستنتاج — كل مرحلة عليها نقاط.

1) التراجع والرتابة والتقارب 1.25

التهيئة: من أجل ‎n = 0‎ لدينا ‎u0 = 1 ≤ 4‎، الخاصية محققة في الرتبة 0.

الوراثة: نفرض أن ‎un ≤ 4‎ من أجل n معيّن، فإن:

un+1 = (un + 8)/3 ≤ (4 + 8)/3 = 4

فالخاصية محققة في الرتبة ‎n+1‎. الاستنتاج: ‎un ≤ 4‎ لكل n من ℕ.

الرتابة: نحسب الفرق:

un+1 − un = (8 − 2un)/3 ≥ 0  لأن ‎un ≤ 4‎

فالمتتالية متزايدة. وهي متزايدة ومحدودة من الأعلى (بالعدد 4)، إذن متقاربة حسب مبرهنة المتتاليات الرتيبة المحدودة.

2) المتتالية المساعدة والنهاية 1.75

نحسب:

vn+1 = un+1 − 4 = (un + 8)/3 − 4 = (un − 4)/3 = vn/3

فالمتتالية ‎(vn)‎ هندسية أساسها ‎q = 1/3‎ وحدّها الأول ‎v0 = u0 − 4 = −3‎. ومنه:

vn = −3·(1/3)n  ،  un = 4 − 3·(1/3)n

وبما أن ‎|1/3| < 1‎ فإن ‎lim (1/3)n = 0‎، ومنه:

lim un = 4

وهي النتيجة المنتظرة: متزايدة ومحدودة بـ 4 فنهايتها 4.

3) المجموع ونهايته 1

مجموع حدود متتابعة هندسية:

Sn = −3 · (1 − (1/3)n+1) / (1 − 1/3) = −(9/2)·(1 − (1/3)n+1)

وعندما يؤول n إلى ‎+∞‎:

lim Sn = −9/2
⚠️ 3 أخطاء تفقدك النقاط في هذا التمرين:
1. كتابة «المتتالية متقاربة» دون إثبات الرتابة + المحدودية معًا — المبرهنة تشترطهما (−0.5).
2. الخطأ في الحد الأول للمساعدة (v0 = −3 لا 3): إشارة واحدة تقلب المجموع كله (−0.5).
3. نسيان الشرط ‎|q| < 1‎ عند حساب نهاية ‎(1/3)n‎ — اذكره سطرًا فهو منقّط.
🎯 أتقنت المنهجية؟ ثبّتها بـ 10 متتاليات بالتصحيح الفوري ← 💳 افتح كل الحوليات المصححة ببطاقة واحدة
الأسئلة الشائعة

أسئلة التلاميذ حول متتاليات البكالوريا

كيف أبرهن أن متتالية متقاربة دون حساب نهايتها؟

يكفي إثبات أنها رتيبة (متزايدة أو متناقصة) ومحدودة (من الأعلى أو الأسفل حسب الحالة) — التقارب مضمون بمبرهنة المتتاليات الرتيبة المحدودة.

متى أستعمل متتالية مساعدة هندسية؟

عندما تكون العلاقة التراجعية من الشكل u(n+1) = a·u(n) + b: نطرح الحل الثابت ونعرّف متتالية الفرق التي تكون هندسية بأساس a.

كم مدة امتحان الرياضيات في بكالوريا علوم تجريبية؟

المدة الرسمية 3 ساعات، ومعامل المادة 5 — تمرين المتتاليات وحده يمنح نحو 4 نقاط كاملة بالمنهجية الصحيحة.

الخطوة التالية

منهجية واحدة… وعشرات التمارين في التطبيق

التراجع والمساعدة الهندسية والمجاميع تتكرر كل سنة بصيغ مختلفة — درّب نفسك عليها حتى تصبح آلية.

💳 اطلب بطاقة البكالوريا ✨ جرّب مجانًا ← كل مواضيع البكالوريا المحلولة
🎯 ثبّت المنهجية بتمارين مشابهة بالتصحيح الفوري ←