حل تمرين الدوال الأسية في بكالوريا الرياضيات خطوة بخطوة
الحل الكامل بأسلوب التصحيح الوزاري: كل سؤال بنقاطه، والمنهجية التي تمنحك النقاط حتى لو تعثرت في النتيجة الأخيرة — مع الأخطاء الشائعة التي تُفقد التلاميذ 3 نقاط في هذا التمرين وحده.
نص التمرين (نموذج بأسلوب مواضيع البكالوريا)
نعتبر الدالة العددية f المعرّفة على مجموعة الأعداد الحقيقية كما يلي:
وليكن (C) تمثيلها البياني في معلم متعامد ومتجانس.
1) 0.75 نقطة
احسب نهايتي الدالة f عند −∞ وعند +∞، واستنتج المستقيمات المقاربة للمنحنى (C).
2) 1 نقطة
ادرس اتجاه تغير الدالة f ثم شكّل جدول تغيراتها.
3) 1 نقطة
اكتب معادلة المماس (T) للمنحنى (C) عند النقطة ذات الفاصلة 0، ثم ادرس الوضع النسبي للمنحنى (C) بالنسبة إلى (T).
4) 1.25 نقطة
احسب مساحة الحيّز المستوي المحصور بين المنحنى (C) والمماس (T) والمستقيمين اللذين معادلتاهما x = 0 وx = 1.
الحل خطوة بخطوة مع سلم التنقيط
كل خطوة منهجية عليها نقاط مستقلة: اكتبها حتى لو لم تصل للنتيجة النهائية.
1) النهايات والمستقيمات المقاربة 0.75
عند −∞: لدينا lim x = −∞ وlim e−x = +∞، إذن بالجداء:
عند +∞: نستعمل النهاية الشهيرة lim x·e−x = 0 (الأُسّية تغلب كثير الحدود)، إذن:
نستنتج أن المستقيم الذي معادلته y = 0 (محور الفواصل) مستقيم مقارب أفقي للمنحنى (C) بجوار +∞.
2) المشتقة وجدول التغيرات 1
الدالة f قابلة للاشتقاق على ℝ، ولدينا (مشتقة جداء):
بما أن e−x > 0 دائمًا، فإشارة f′ هي إشارة (1 − x): موجبة تمامًا على ]−∞ , 1[ وسالبة تمامًا على ]1 , +∞[.
ومنه: f متزايدة تمامًا على ]−∞ , 1] ومتناقصة تمامًا على [1 , +∞[، وتقبل قيمة عظمى عند x = 1 وهي:
3) المماس والوضع النسبي 1
لدينا f(0) = 0 وf′(0) = 1، فمعادلة المماس (T) عند الفاصلة 0 هي:
ندرس إشارة الفرق: f(x) − x = x·e−x − x = x(e−x − 1).
• إذا كان x > 0 فإن e−x < 1 ومنه الفرق سالب: المنحنى (C) تحت المماس (T).
• إذا كان x < 0 فإن e−x > 1 ومنه الفرق موجب: المنحنى (C) فوق المماس (T).
• يتقاطعان عند النقطة O(0,0).
4) حساب المساحة 1.25
على المجال [0 , 1] المنحنى تحت المماس، فالمساحة (بالوحدة المساحية) هي:
نحسب ∫01 x·e−x dx بالتجزئة (u = x ، v′ = e−x):
ومنه:
1. نسيان النهاية الشهيرة عند +∞ وكتابة «شكل غير معين» دون حسمها (−0.5).
2. خطأ إشارة المشتقة (الخلط بين (1−x) و(x−1)) فيقلب جدول التغيرات كله (−1).
3. التسرع في التكامل بالتجزئة: رتّب u وv′ في سطر مستقل قبل الحساب — المصحح ينقّط المنهجية.
أسئلة التلاميذ حول بكالوريا الرياضيات
كم مدة امتحان الرياضيات في بكالوريا شعبة رياضيات؟
المدة الرسمية 3 ساعات و30 دقيقة، ومعامل المادة 7 — كل نقطة إضافية ترفع معدلك العام بشكل محسوس.
كيف يوزع التنقيط في تمرين الدوال؟
يوزع التنقيط على النهايات والمشتقة وجدول التغيرات والمنحنى وحساب المساحة — كل خطوة منهجية عليها نقاط حتى لو تعثرت في النتيجة الأخيرة.
ما أكثر خطأ يفقد النقاط في الدوال الأسية؟
نسيان النهاية الشهيرة نهاية x·e−x عند +∞ تساوي 0، وخطأ إشارة المشتقة، والتسرع في التكامل بالتجزئة دون ترتيب الخطوات.
حل واحد مجاني… والحوليات الكاملة في التطبيق
مواضيع البكالوريا الرسمية لكل الشعب مع الحلول النموذجية وسلم التنقيط، وتمارين تفاعلية بتصحيح فوري ودفتر أخطاء ذكي — ببطاقة واحدة صالحة 365 يومًا.