حل تمرين الأعداد المركبة: الجبري والمثلثي والمعادلات
الحل الكامل بأسلوب التصحيح الوزاري: الشكل الجبري، الشكل المثلثي بالطويلة والعمدة، حل معادلة الدرجة الثانية في C، وإثبات طبيعة مثلث — نحو 6 نقاط.
نص التمرين (نموذج بأسلوب مواضيع البكالوريا)
1) 1 نقطة
اكتب العدد المركب (1 + i)² على الشكل الجبري.
2) 1.5 نقطة
اكتب العدد المركب z = √3 + i على الشكل المثلثي (حدد الطويلة والعمدة).
3) 1.5 نقطة
حل في مجموعة الأعداد المركبة المعادلة: z² − 4z + 13 = 0.
4) 2 نقاط
لتكن A وB صورتَي العددين 2 + 3i و2 − 3i على الترتيب في المستوي المركب: بيّن أن المثلث OAB متساوي الساقين وحدد رأسه (O مبدأ المعلم).
الحل خطوة بخطوة مع سلم التنقيط
1) الشكل الجبري 1
2) الشكل المثلثي 1.5
الطويلة: r = √(3 + 1) = 2. العمدة θ تحقق cos θ = √3/2 وsin θ = 1/2 ومنه θ = π/6 (الربع الأول):
3) حل المعادلة في C 1.5
المميز Δ = 16 − 52 = −36 سالب: الحلان مترافقان:
4) طبيعة المثلث 2
بما أن OA = OB فالمثلث OAB متساوي الساقين رأسه O.
1. التوقف عند المميز السالب («لا حل») — في C المميز السالب يعطي حلين مترافقين.
2. تحديد العمدة دون مراعاة ربع المستوى: تحقق دائمًا من إشارتي cos وsin معًا.
3. الخلط بين الطويلة (|z|) والعمدة في الشكل المثلثي — اكتب r أولًا ثم θ.
أسئلة التلاميذ حول الأعداد المركبة
كيف أكتب عددًا مركبًا على الشكل المثلثي؟
احسب الطويلة r = √(a²+b²) ثم حدد العمدة θ من cos θ = a/r وsin θ = b/r مع مراعاة ربع المستوى، ثم اكتب z = r(cos θ + i sin θ).
كيف أحل معادلة من الدرجة الثانية في C؟
احسب المميز Δ: إذا كان سالبًا فالحلان مترافقان (z = (−b ± i√|Δ|)/2a) — لا تتوقف عند Δ السالب كما في الأعداد الحقيقية.
كيف أثبت أن مثلثًا متساوي الساقين بالأعداد المركبة؟
احسب طويلتي الضلعين من الرأس (|OA| و|OB|): تساويهما يثبت أن المثلث متساوي الساقين رأسه تلك النقطة.
طويلة وعمدة… ثم كل شيء يُحل
الشكل المثلثي مفتاح المعادلات والهندسة معًا — درّب نفسك عليه في التطبيق.